mardi 10 avril 2007

Il existe de très grands nombres comme gogol (googol en anglais) inventé par le mathématicien Edward Kasner, gogol est égal à 1 suivi de cent zéros :
gogol = 10^100

gogolplex (googolplex en anglais) est égal à 1O puissance gogol, c'est-à-dire :
gogolplex = 10^gogol


On trouvera une bonne explication de la notation au moyen des chaînes de Conway sur wikipedia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_des_fl%C3%A8ches_cha%C3%AEn%C3%A9es_de_Conway

Un nombre incalculable (INCA) est un nombre que l'on ne peut écrire que par une formule de calcul ou par une description et qui est tellement grand qu'il a pour un esprit humain ou même pour un ordinateur certaines des propriétés voisines de celles de l'infini.

Exemple de nombre incalculable par formule :
(gogolplex!→ gogolplex!→gogolplex!→gogolplex!)!
(factorielle de quatre factorielles de gogolplex reliées par des flèches de Conway)

Exemples de nombre incalculable par description :
Mille milliards puissance mille milliards puissance mille milliards etc. et ce, mille millards de fois.

gogolplex! relié à gogolplex! par une flèche de Conway et ainsi de suite gogolplex! fois, et dont on calcule ensuite gogoplex! factorielles (ce qui ne peut s'écrire avec la notation actuelle étant donné le nombre de flèches et de points d'exclamation nécessaires).

Notons que bien que ces nombres soient incalculables, on sait cependant que le deuxième est très nettement plus petit que le premier et le troisième dépasse incroyablement les deux autres.
Ces trois nombres sont des INCAs (des nombres incalculables)

Propriétés proches de l'infini :
Soit a un nombre incalculable :
a + 1 ≈ a
Log(a) est un nombre incalculable
a/(nombre calculable) est un nombre incalculable

Pourtant ces nombres ne sont pas l'infini tout simplement parce qu'ils ont une taille ce qui fait qu'on peut les comparer entre eux. Par ailleurs, le nombre de nombres premiers étant infini, on peut dire qu'il y a toujours une infinité de nombres premiers supérieurs à n'importe quel INCA.
Il y a lieu de noter que si le sinus d'un nombre incalculable est généralement indéterminable, il n'est pas indéterminé.
Enfin, un nombre incalculable peut n'être composé que d'un petit nombre de facteurs ainsi, le deuxième exemple n'est composé que de 2 et de 5.

cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_incalculable